Eine apollinische Dichtung ist eine Art Fraktalbild, das aus einer Sammlung von immer kleiner werdenden Kreisen in einem einzigen großen Kreis besteht. Jeder Kreis in der Apollonian Gasket ist tangential zu den benachbarten Kreisen - mit anderen Worten, die Kreise in der Apollonian Gasket berühren sich an unendlich kleinen Punkten. Benannt nach dem griechischen Mathematiker Apollonius von Perge, kann diese Art von Fraktal (von Hand oder mit dem Computer) bis zu einem angemessenen Komplexitätsgrad gezeichnet werden, um ein schönes, eindrucksvolles Bild zu bilden. Siehe Schritt 1 unten, um zu beginnen.
Schritte
Teil 1 von 2: Schlüsselkonzepte verstehen
Um es ganz klar zu sagen, wenn Sie einfach daran interessiert sind, eine apollinische Dichtung zu zeichnen, ist es nicht unbedingt erforderlich, die mathematischen Prinzipien hinter dem Fraktal zu erforschen. Wenn Sie jedoch ein tieferes Verständnis der apollinischen Dichtungen wünschen, ist es wichtig, die Definitionen verschiedener Konzepte zu verstehen, die wir bei der Diskussion verwenden.
Schritt 1. Definieren Sie Schlüsselbegriffe
In den folgenden Anweisungen werden die folgenden Begriffe verwendet:
- Apollonian Gasket: Einer von mehreren Namen für einen Fraktaltyp, der aus einer Reihe von Kreisen besteht, die in einem großen Kreis verschachtelt sind und alle anderen in der Nähe tangieren. Diese werden auch "Soddy Circles" oder "Kissing Circles" genannt.
- Kreisradius: Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu seinem Rand. Wird normalerweise der Variablen r zugewiesen.
- Krümmung eines Kreises: Der positive oder negative Kehrwert des Radius oder ±1/r. Die Krümmung ist positiv bei der äußeren Krümmung des Kreises und negativ bei der inneren Krümmung.
- Tangente: Ein Begriff für Linien, Ebenen und Formen, die sich an einem unendlich kleinen Punkt schneiden. In Apollonian Gaskets bezieht sich dies auf die Tatsache, dass jeder Kreis jeden benachbarten Kreis nur an einem Punkt berührt. Beachten Sie, dass es keinen Schnittpunkt gibt - Tangentialformen überlappen sich nicht.
Schritt 2. Verstehen Sie den Satz von Descartes
Der Satz von Descartes ist eine Formel, die nützlich ist, um die Größe der Kreise in einer apollinischen Dichtung zu berechnen. Wenn wir die Krümmungen (1/r) von drei beliebigen Kreisen als a, b bzw. c definieren, besagt der Satz, dass die Krümmung des Kreises (oder der Kreise) tangential zu allen drei Kreisen, die wir als d definieren, ist: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Für unsere Zwecke verwenden wir im Allgemeinen nur die Antwort, die wir erhalten, indem wir der Quadratwurzel ein Pluszeichen voranstellen (also … + 2 (sqrt(…)). Form der Gleichung hat ihre Verwendung in anderen verwandten Aufgaben
Teil 2 von 2: Konstruktion der apollinischen Dichtung
Apollonian Gaskets haben die Form schöner fraktaler Anordnungen von schrumpfenden Kreisen. Mathematisch haben apollinische Dichtungen eine unendliche Komplexität, aber egal, ob Sie ein Computerzeichenprogramm oder traditionelle Zeichenwerkzeuge verwenden, Sie werden irgendwann einen Punkt erreichen, an dem es unmöglich ist, Kreise noch kleiner zu zeichnen. Beachten Sie, dass je genauer Sie Ihre Kreise zeichnen, desto mehr passen Sie in Ihre Dichtung.
Schritt 1. Stellen Sie Ihre digitalen oder analogen Zeichenwerkzeuge zusammen
In den folgenden Schritten stellen wir unsere eigene einfache Apollonian-Dichtung her. Es ist möglich, apollinische Dichtungen von Hand oder am Computer zu zeichnen. In beiden Fällen möchten Sie perfekt runde Kreise zeichnen können. Dies ist ziemlich wichtig. Da jeder Kreis in einer Apollonian Gasket perfekt tangential zu den Kreisen daneben liegt, können selbst leicht verformte Kreise Ihr Endprodukt "wegwerfen".
- Wenn Sie die Dichtung auf einem Computer zeichnen, benötigen Sie ein Programm, mit dem Sie auf einfache Weise Kreise mit einem festen Radius von einem zentralen Punkt aus zeichnen können. Gfig, eine Vektorzeichnungserweiterung für das kostenlose Bildbearbeitungsprogramm GIMP, kann ebenso verwendet werden wie eine Vielzahl anderer Zeichenprogramme (entsprechende Links finden Sie im Abschnitt Materialien). Sie benötigen wahrscheinlich auch eine Taschenrechneranwendung und entweder ein Textverarbeitungsdokument oder einen physischen Notizblock, um Notizen zu Krümmungen und Radien zu machen.
- Um die Dichtung von Hand zu zeichnen, benötigen Sie einen Taschenrechner (wissenschaftlich oder grafisch empfohlen), einen Bleistift, einen Zirkel, ein Lineal (vorzugsweise eine Skala mit Millimetermarkierungen, Millimeterpapier und einen Notizblock zum Aufzeichnen).
Schritt 2. Beginnen Sie mit einem großen Kreis
Ihre erste Aufgabe ist einfach – zeichnen Sie einfach einen großen, perfekt runden Kreis. Je größer der Kreis ist, desto komplexer kann Ihre Dichtung sein. Versuchen Sie also, einen Kreis so groß zu machen, wie es Ihr Papier zulässt oder so groß, wie Sie in einem Fenster Ihres Zeichenprogramms leicht sehen können.
Schritt 3. Erstellen Sie einen kleineren Kreis innerhalb des Originals, tangential zu einer Seite
Zeichnen Sie als Nächstes einen weiteren Kreis in den ersten, der kleiner als das Original ist, aber immer noch ziemlich groß. Die genaue Größe des zweiten Kreises liegt bei Ihnen - es gibt keine richtige Größe. Für unsere Zwecke zeichnen wir jedoch unseren zweiten Kreis so, dass er genau die Hälfte unseres großen äußeren Kreises erreicht. Mit anderen Worten, zeichnen wir unseren zweiten Kreis so, dass sein Mittelpunkt der Mittelpunkt des Radius des großen Kreises ist.
Denken Sie daran, dass in Apollonian Gaskets alle Kreise, die sich berühren, tangential zueinander sind. Wenn Sie einen Zirkel verwenden, um Ihre Kreise von Hand zu zeichnen, stellen Sie diesen Effekt wieder her, indem Sie die scharfe Spitze des Zirkels in die Mitte des Radius des großen äußeren Kreises legen und Ihren Bleistift so einstellen, dass er gerade die Kante des großen Kreises berührt. Zeichnen Sie dann Ihren kleineren inneren Kreis
Schritt 4. Zeichnen Sie einen identischen Kreis "gegenüber" des kleineren Innenkreises
Als nächstes ziehen wir einen weiteren Kreis gegenüber unserem ersten. Dieser Kreis sollte sowohl den großen Außenkreis als auch den kleineren Innenkreis tangieren, was bedeutet, dass sich Ihre beiden Innenkreise genau im Mittelpunkt des großen Außenkreises berühren.
Schritt 5. Wenden Sie den Satz von Descartes an, um die Größe Ihrer nächsten Kreise zu ermitteln
Hören wir kurz auf zu zeichnen. Da wir nun drei Kreise in unserer Dichtung haben, können wir den Satz von Descartes verwenden, um den Radius des nächsten Kreises zu bestimmen, den wir zeichnen werden. Denken Sie daran, dass der Satz von Descartes d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), wobei a, b und c die Krümmungen Ihrer drei Tangentenkreise und d die Krümmung der Kreistangente zu allen drei sind. Um den Radius unseres nächsten Kreises zu ermitteln, berechnen wir die Krümmung jedes der Kreise, die wir bisher haben, damit wir die Krümmung des nächsten Kreises finden und diese dann in seinen Radius umrechnen können.
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Definieren wir den Radius unseres äußeren Kreises als
Schritt 1.. Da sich die anderen Kreise innerhalb dieses Kreises befinden, haben wir es mit seiner inneren Krümmung zu tun (und nicht mit seiner äußeren Krümmung), und folglich wissen wir, dass seine Krümmung negativ ist. - 1/r = -1/1 = -1. Die Krümmung des großen Kreises ist - 1.
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Die Radien der kleineren Kreise sind halb so groß wie die der großen Kreise, also 1/2. Da sich diese Kreise und der große Kreis mit ihrer Außenkante berühren, haben wir es mit ihrer Außenkrümmung zu tun, also sind ihre Krümmungen positiv. 1/(1/2) = 2. Die Krümmungen der kleineren Kreise sind beide
Schritt 2..
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Nun wissen wir, dass a = -1, b = 2 und c = 2 für unsere Gleichung des Satzes von Descartes. Wir lösen nach d auf:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (Quadrat (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Die Krümmung unseres nächsten Kreises ist
Schritt 3.. Wegen 3 = 1/r ist der Radius unseres nächsten Kreises 1/3.
Schritt 6. Erstellen Sie Ihre nächsten Kreise
Verwenden Sie den gerade gefundenen Radiuswert, um Ihre nächsten beiden Kreise zu zeichnen. Denken Sie daran, dass diese Kreise tangential sind, deren Krümmungen Sie im Satz von Descartes für a, b und c verwendet haben. Mit anderen Worten, sie tangieren sowohl den ursprünglichen als auch den zweiten Kreis. Damit diese Kreise tangential zu allen drei Kreisen sind, müssen Sie sie in die offenen Räume oben und unten im Bereich innerhalb Ihres großen ursprünglichen Kreises zeichnen.
Denken Sie daran, dass die Radien dieser Kreise 1/3 betragen. Messen Sie 1/3 vom Rand des äußeren Kreises zurück und zeichnen Sie dann Ihren neuen Kreis. Es sollte tangential zu allen drei umgebenden Kreisen sein
Schritt 7. Fahren Sie auf diese Weise fort, um weitere Kreise hinzuzufügen
Da es sich um Fraktale handelt, sind apollinische Dichtungen unendlich komplex. Das heißt, Sie können nach Herzenslust immer kleinere Kreise hinzufügen. Sie sind nur durch die Präzision Ihrer Werkzeuge (oder, wenn Sie einen Computer verwenden, die Fähigkeit Ihres Zeichenprogramms zum "Einzoomen") begrenzt. Jeder noch so kleine Kreis sollte tangential zu drei anderen Kreisen sein. Um jeden nachfolgenden Kreis in Ihrer Dichtung zu zeichnen, setzen Sie die Krümmungen der drei Kreise, zu denen er tangential ist, in den Satz von Descartes ein. Verwenden Sie dann Ihre Antwort (die dem Radius Ihres neuen Kreises entspricht), um Ihren neuen Kreis genau zu zeichnen.
- Beachten Sie, dass die Dichtung, die wir zum Zeichnen ausgewählt haben, symmetrisch ist, sodass der Radius eines Kreises der gleiche ist wie der entsprechende Kreis "darüber". Beachten Sie jedoch, dass nicht jede apollinische Dichtung symmetrisch ist.
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Gehen wir noch ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir wollen nach dem Zeichnen unseres letzten Kreises nun die Kreise zeichnen, die tangential zu unserem dritten Satz, unserem zweiten Satz und unserem großen äußeren Kreis sind. Die Krümmungen dieser Kreise sind 3, 2 bzw. -1. Setzen wir diese Zahlen in den Satz von Descartes ein und setzen a = -1, b = 2 und c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (Quadrat (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (Quadrat (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Wir haben zwei Antworten! Da wir jedoch wissen, dass unser neuer Kreis kleiner ist als jeder der Kreise, an die er tangiert, ist nur eine Krümmung von
Schritt 6. (und damit ein Radius von 1/6) macht Sinn.
- Unsere andere Antwort, 2, bezieht sich tatsächlich auf den hypothetischen Kreis auf der anderen Seite des Tangentialpunktes unseres zweiten und dritten Kreises. Dieser Kreis ist tangential zu diesen beiden Kreisen und zum großen äußeren Kreis, aber es würde die Kreise schneiden, die wir bereits gezeichnet haben, so dass wir es ignorieren können.
Schritt 8. Versuchen Sie als Herausforderung, eine nicht symmetrische apollinische Dichtung herzustellen, indem Sie die Größe Ihres zweiten Kreises ändern
Alle apollinischen Dichtungen beginnen gleich - mit einem großen äußeren Kreis, der als Rand des Fraktals fungiert. Es gibt jedoch keinen Grund dafür, dass Ihr zweiter Kreis unbedingt 1/2 des Radius des ersten haben muss - wir haben uns nur oben dafür entschieden, weil es einfach und leicht zu verstehen ist. Versuchen Sie zum Spaß, eine neue Dichtung mit einem zweiten Kreis einer anderen Größe zu beginnen - dies führt zu aufregenden neuen Erkundungsmöglichkeiten.
